Угловой унитаз намертво приклеили к полу и стенам: можно ли снять без разбивания?

Сантехник может быть прав, но это надо подтвердить осмотром, а не фразой "невозможно".
Приклеенный унитаз иногда снимается.
Все зависит от площади приклейки, состава клея и доступа к швам. Нижний шов по полу еще можно пытаться прорезать.
Бачок, приклеенный боками к двум стенам, сильно ухудшает ситуацию.
Угловой унитаз стоит в зажатом положении, и места для инструмента мало.
При протечке сзади доступ к выпуску нужен полноценный, а не "на ощупь".
Сначала надо удалить видимый герметик или клей по периметру. Проверить, есть ли крепеж к полу.
Отключить подводку воды и все, что можно снять без нагрузки на керамику. Потом пробовать тонким инструментом отделить бачок от стен.
Хорошо если клей режется слоями, а керамика не трещит и не тянет плитку.
Плохо когда состав каменный, шов уходит глубоко, бачок не имеет люфта, плитка начинает отходить вместе с клеем. В таком случае демонтаж с сохранением унитаза превращается в рискованную работу без нормального результата.
Если уже придется разбивать унитаз, то аккуратно, с защитой трубы и плитки.

Здесь проблема не только в протечке. Проблема в прежней установке. Унитаз сделали практически несъемным, хотя доступ к выпуску и соединениям должен сохраняться.

Приклейка основания к полу сама по себе встречается. Приклейка бачка боковыми плоскостями к двум стенам это плохое решение.

Такой монтаж блокирует обслуживание. Перед решением о разрушении надо понять три вещи: тип клея, площадь приклейки и доступ к выпуску.

Силиконовый шов обычно можно резать. Полиуретановый, эпоксидный или цементный слой может держать так, что керамика треснет раньше клея. В такой схеме аккуратный демонтаж не всегда оправдан. Иногда дешевле и безопаснее пожертвовать унитазом, чем сломать плитку и канализацию. Но сначала нужен спокойный осмотр и попытка резки швов, а не удар молотком с порога.

Сразу разбивать унитаз я бы не спешил. Сначала надо понять, чем его приклеили.
Силикон, санитарный герметик и часть монтажных клеев иногда режутся ножом, струной или тонким полотном.

Жесткий клей, эпоксидный состав или толстый слой "жидких гвоздей" это уже другая история.
По описанию плохой признак в том, что приклеено не только основание, но и боковые плоскости бачка к двум стенам. Так унитаз зажат сразу в нескольких направлениях.

Фарфор плохо переносит перекос, рывок и поджим. Особенно опасно давить на бачок и боковые стенки.
Нормальный порядок такой: перекрыть воду, слить бачок, отсоединить подводку, снять крышку и арматуру, осмотреть крепеж и все швы. Потом аккуратно попробовать прорезать клеевой контур без рывков. Признак, что снять можно: шов режется, унитаз дает микродвижение, крепеж доступен, выпуск можно освободить.
Признак, что без разрушения почти никак: клеевой слой твердый, шва нет, бачок намертво уперт в стены, выпуск сзади недоступен, а любое движение идет вместе с плиткой или стеной.

Разбивание в такой ситуации бывает рабочим вариантом, но только после попытки аккуратного расклеивания. Главное не ломать силой. Так можно повредить плитку, канализационный выпуск и получить больше работы, чем было изначально.