С чего начать восстановление старого деревянного дома с просадкой и гнилыми венцами

Начинать нужно не с заливки нового фундамента, а с обследования и временного раскрепления дома.
По фото и описанию видно сразу несколько связанных проблем: просадка задней части, потеря опоры сзади, гнилые нижние венцы, вода в зоне ограды и сгнившие опорные столбы. Поднимать такой дом без предварительной схемы опасно.
Сначала нужно снять размеры: где дом просел, насколько ушла крыша, какие венцы сгнили, что осталось от фундамента, где стоят печь, перегородки и внутренние опоры. Потом делается временное усиление: стяжки, подпорки, площадки под домкраты, временные опоры под стены и простенки. Только после этого дом можно аккуратно вывешивать и менять нижние венцы.
Фундамент ремонтируют или делают новый уже после понимания, на что реально можно опереть сруб. Старый бетонно-кирпичный фундамент, который ушел в землю и местами отсутствует, лучше рассматривать как сомнительное основание, а не как готовую базу для ремонта.
Глубина заложения определяется не "на глаз", а по грунтам, нагрузке, воде, промерзанию и конструктивной схеме дома.
Высоту фундамента над землей нужно делать такой, чтобы нижние венцы не находились в сырости, снегу и брызгах от земли.
Ограду тоже нельзя просто подпереть новыми столбами без проверки верхней связи с кровлей.
Сгнившие опоры можно заменить, но сначала надо понять, держат ли они только ограду или уже участвуют в подпоре просевшей части.
Для оценки нужен специалист по ремонту срубов и инженер-конструктор.
Бригада, которая просто "поднимает дома", без обследования тут рискованный вариант.

Порядок работ должен быть такой: обследование, временная стабилизация, подъем, замена венцов, устройство опоры, потом уже ограда и отделка.

Сейчас дом нельзя рассматривать отдельно от воды. И старый фундамент, и нижние венцы, и столбы ограды пострадали именно в нижней сырой зоне. Поэтому новый фундамент без решения водоотвода быстро приведет к повторению проблемы. Сначала надо убрать мусор и землю от стен, открыть нижние венцы, посмотреть состояние сруба по периметру и внутри. Отдельно проверить печь, половые балки, пятую стену, углы и места примыкания ограды. После этого дом временно стягивают и вывешивают на надежные опоры. Поднимать нужно постепенно, с контролем перекосов, а не пытаться сразу вернуть заднюю часть в уровень. Нижние венцы меняют только после того, как сруб надежно стоит на временных опорах. Фундамент выбирают после оценки грунта и веса дома. Глубина фундамента зависит от грунтовых условий, уровня воды, промерзания, нагрузки и особенностей здания.

Деревянные конструкции должны быть защищены от увлажнения и биоповреждения, поэтому простая замена сгнившего дерева без изменения водного режима не решит проблему.

По ограде: сгнившие опорные столбы менять можно, но их надо конструктивно отделять от земли и воды.
Лучше делать новые опоры с нормальным основанием, гидроизоляцией и защитой от намокания.